Е. Евстигнеев родился в Нижнем Новгороде. Для своей матери - Марии Ивановны - он был поздним ребенком: когда он появился на свет, ей было 32 года. Для отца - Александра Михайловича - он не был первенцем: от первого брака тот уже имел сына-школьника.

Судьбе было угодно, чтобы Евстигнеев стал актером. Причем произошло это совершенно случайно. В 1946 году Евгений в свободное от работы время играл в кинотеатре на ударнике в оркестре. Играл он так виртуозно и самозабвенно, что этой своей игрой заслонял всех остальных оркестрантов и приводил публику в восторг.
Во время одного из таких выступлений его приметил ректор Горьковского театрального училища Виталий Лебский. После того как оркестранты отыграли очередную композицию, он подошел к музыканту и спросил его: "Молодой человек, не хотите ли вы стать драматическим актером?" На что Евстигнеев простодушно ответил: "Я не знаю". - "Тогда вот вам мои координаты, и я жду вас у себя", - продолжил Лебский и вручил парню бумажку с адресом училища.